Trigonometrische Gleichung

Definition

Eine trigonometrische alias goniometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable \(x\) in Form von \(\sin(x)\) oder \(\cos(x)\) vorkommt.

Formeln

Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion

$$f(x)=a\cdot\sin(bx+c)+d$$

$$f(x)=a\cdot\cos(bx+c)+d$$

\(a\) streckt oder staucht entlang der y-Achse. (Amplitude)
\(b\) streckt oder staucht entlang der x-Achse.
\(c\) verschiebt nach links oder rechts.
\(d\) verschiebt nach oben oder unten.

Periodenlänge
Die Strecke entlang der x-Achse, bis sich die Kurve wiederholt.

$$p=\frac{2\pi}{b}$$

Wertemenge
Wenn \(a\) positiv ist:

$$W_f=[-a+d;a+d]$$

Wenn \(a\) negativ ist:

$$W_f=[a+d;-a+d]$$

Nullstellen
Sinusfunktion:

$$x_k=k\cdot\pi$$

Kosinusfunktion:

$$x_k=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$$

Graphen

Einfache Sinuskurve

\(\overline{\rm AB}\) ist die Periodenlänge.    Funktion: \(y=\sin(x)\)

Einfache Kosinuskurve

\(\overline{\rm AB}\) ist die Periodenlänge.    Funktion: \(y=\cos(x)\)

Rechnungen

Gleichung einer Sinus- oder Kosinusfunktion ablesen

Beispielgraph:

Schritte

1. Die Ruhelage (Mittellinie zwischen höchstem und tiefstem y-Wert) einzeichnen und \(d\) ablesen.
   
   <div id="jxgbox4" class="jxgbox" style="max-width:100%; max-height:50%; height:400px; width:400px"></div>
   \(d=\frac{\text{Max}+\text{Min}}{2}=\frac{1+(-3)}{2}=-1\)
2. Den x-Wert des ersten positiven Durchgangs (nach oben) entlang der Ruhelage ablesen und das Vorzeichen ändern.
   <div id="jxgbox5" class="jxgbox" style="max-width:100%; max-height:50%; height:400px; width:400px"></div> ### Ich habe keine Ahnung, warum der Punkt hier nicht passt. Die Gleichung ist \(f(x)=2\sin(2x-2)-1\)
   \(c=-2\)</span>
3. Die Parabelschablone am ersten positiven Durchgang bei \(0\) anlegen und die Periodenlänge \(p\) ablesen.
   \(p=\pi\)
4. Die Formel für die Periodenlänge nach \(b\) umstellen und ausrechnen.
   \(p=\frac{2\pi}{b}\)
   \(b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{\pi}=2\)
5. Die Amplitude ablesen (höchster Ausschlag nach dem ersten positiven Durchgang).
   Graph
   \(a=\frac{\text{Max}-\text{Min}}{2}=\frac{1-(-3)}{2}=2\)

   Nullstellen berechnen

6. Gleich \(0\) setzen.
7. Am Schluss z. B. folgendes machen:
   \(x_0=\frac{\pi}{2}\)
   \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\cdot3\pi,k\in \mathbb{Z}\)
   außerdem: \(\sin(2x)=0\) → \(2x=k\cdot\pi,k\in \mathbb{Z}\) → \(x=\frac{k}{2}\pi\)

   Alle reellen Lösungen ermitteln

   Lösungen innerhalb eines Intervalls ermitteln

   • Bei \([0;\pi]\): 0, 1, 2 einsetzen ins Ergebnis (z. B. \(\frac{k}{2}\pi=\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{1}{2}\pi\)), bis das Intervall zu Ende ist.